Concours ENSCK 2023 - Mathématiques

Mathématiques

Question 36

Soit $(u_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite numérique définie par: $ u_0 = 1$ et $ u_{n+1} = \frac{2u_n}{\sqrt{1 + u_n^2}}$ . On pose $ v_n = \frac{u_n^2}{3 - u_n^2}$ . Alors $ (v_n)$ est une suite géométrique de raison:

A) $\frac{1}{4}$B) $\frac{1}{2}$C) 2D) 4

Question 37

$\lim_{n \to +\infty} u_n =$

A) $\frac{\sqrt{3}}{3}$B) $\sqrt{3}$C) 2D) $+\infty$

Question 38

On considère la suite numérique $ (w_n)_{n \in \mathbb{N}}$ définie par: $ w_0 = \frac{1}{2}$ et $ w_{n+1} = \frac{w_n}{3 - 2w_n}$ . Alors $ \forall n \in \mathbb{N}$

A) $\frac{1}{2} \leq w_n < (\frac{3}{2})^{n+1}$B) $0 < w_n < (\frac{3}{2})^n$C) $0 < w_n < (\frac{1}{2})^n$D) $(\frac{1}{4})^n < w_n < (\frac{1}{2})^n$

Question 39

On considère l'intégrale $ I = \int_0^{\pi/4} \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} d\theta$ . Alors $ I =$

A) $\frac{\ln(3)}{2}$B) $1 - \frac{\pi}{4}$C) $\frac{\ln(2)}{2}$D) $\frac{\pi}{4}$

Question 40

On considère l'équation suivante: $ z^2 - 6z + 13 = 0$ de racines $ z_1$ et $ z_2$ . $ z_1$ et $ z_2$ sont:

A) $2 + 3i$ et $3 - 2i$B) $2 - 3i$ et $2 + 3i$C) $2 - 3i$ et $3 + 2i$D) $3 + 2i$ et $3 - 2i$

Question 41

Dans un repère orthonormé $ (O, \vec{i}, \vec{j})$ , on considère les points A et B d'affaires respectives $ z_1$ et $ z_2$ . Le triangle OAB est un triangle:

A) équilateralB) isocèleC) rectangleD) rectangle isocèle

Question 42

$ z_1$ et $ z_2$ vérifient:

A) $ z_1 + z_2 = 3$B) $ z_1 = z̄_2$C) $ z_1 \times z_2 = 16$D) $\frac{z_1}{z_2} = i$

Question 43

On considère la fonction $ f$ définie par $ f(x) = \sqrt{e^{2x} - 2e^x - 3}$ . $ D_f =$

A) $\mathbb{R}^{-}$B) $\mathbb{R} \setminus \{\ln(3)\}$C) $[\ln(3), +\infty[$D) $]-\infty, \ln(3)]$

Question 44

La fonction $ f$ est dérivable sur:

A) $\mathbb{R}^{*}$B) $]-\infty, \ln(3)[$C) $]\ln(3), +\infty[$D) $\mathbb{R}^{*} \setminus \{\ln(3)\}$

Question 45

$ f$ vérifie l'équation différentielle:

A) $ f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x$B) $ f(x)(f'(x) + f(x)) = e^x - 3$C) $ f(x)(f'(x) + f(x)) = 3$D) $ f(x)(f'(x) - f(x)) = e^x + 3$

Question 46

Quel est le coefficient de $ \frac{1}{x^2}$ dans le développement de $ (x + \frac{1}{x})^n$ quand le coefficient du troisième terme est le même que celui du septième terme dans la formule du binôme de Newton?

A) 28B) 56C) 128D) 356

Question 47

Soient $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ une suite arithmétique et $ S_n$ la somme des $ n$ premiers termes de $ (a_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ . On pose $ a_2 = 5$ et $ S_3 = 15$ . $ \frac{1}{k(k+n)} =$

A) $\frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$B) $\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k}$C) $\frac{1}{k} + \frac{1}{k+1}$D) $\frac{k+1}{k} - \frac{k}{k+1}$

Question 48

La somme des 100 premiers termes de la suite $ \left( \frac{1}{a_n a_{n+1}} \right)n$ est égale à

A) $\frac{99}{101}$B) $\frac{100}{101}$C) $\frac{99}{100}$D) $\frac{101}{100}$

Question 49

Dans une ville, il y a quatre boulangeries qui ferment un jour par semaine. Quel est le nombre de façons d'attribuer un jour de fermeture hebdomadaire?

A) $ C_7^4$B) $ A_7^4$C) $ 4^7$D) $ 7^4$

Question 50

Quelle est La valeur de la limite suivante: $\lim_{t \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{t^{2023}} \right)^{t^{2024}} ?$

A) 1B) $ e$C) $\frac{1}{e}$D) +∞

Concours d'accès en 1ère année du cycle préparatoire ENSCK - 2023

Épreuve : Mathématiques

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